本文所有几何图形都采用html5 canvas绘制，需要使用兼容canvas的浏览器进行阅读。

为了让本篇文章看上去质量比较高，我没有用任何截图，纯代码画图。吐槽，canvas明显没有matlab好用，为了写这篇blog，我花了好多时间在画图上面，看来有必要提升下html5 canvas的熟练度。

前不久，同事在朋友圈发了一条消息，询问一道几何题目如何解答。

正方形ABCD，ED=EC，∠DEA=15°。
证明ΔDEC为等边三角形。

浏览器版本比较尴尬，不支持canvas。

过了好一会，没有人回答上来。同事又发了一条状态，将答案公之于众，大概用的是正弦定理、余弦定理。我之所以说大概，是因为我确实没有仔细看怎么证明的，我觉得大家讨论的有些复杂。

不过为了写这篇blog，我还是仔细看了一下那个证明，并将过程用html格式写下。

这是同事的感慨：

这是那道题目的证明（可以跳过，后面有能看懂的其它证明方法）：
连接AC，令∠CDE = θ。
由条件可以知道:
(1)∠ADE=90°+θ
(2)∠DCE=θ
(3)∠ACE=45°+θ
(4)∠DAE=180°-(90°+θ)-15°=75°-θ
(5)∠CAE=45°-∠DAE=θ-30°

浏览器版本比较尴尬，不支持canvas。

在△ADE中，利用正弦定理有：
AD / sin∠AED = AE / sin∠ADE = DE / sin∠DAE
得到，DE = AE * sin∠DAE / sin∠ADE
在△ACE中，利用正弦定理有：
AC / sin∠AEC = AE / sin∠ACE = EC / sin∠CAE
得到，CE = AE * sin∠CAE / sin∠ACE

由于DE = CE
得到，AE * sin∠DAE / sin∠ADE = AE * sin∠CAE / sin∠ACE
两边去掉AE，整理得
sin∠DAE / sin∠ADE = sin∠CAE / sin∠ACE
带入具体数值得，
sin(75°-θ) / sin(90°+θ) = sin(θ-30°) / sin(45°+θ)
sin和cos转换得，
sin(75°-θ) / cosθ = sin(θ-30°) / sin(45°+θ)
分母对换得，
sin(θ-30°) * cosθ = sin(45°+θ) * sin(75°-θ)
转换得，
0.5 * [sin(2θ-30°)+sin(-30°)] = 0.5 * [sin(60°+2θ)+sin(30°)]
两边同时去除0.5得，
sin(2θ-30°) + sin(-30°) = sin(60°+2θ) + sin(30°)
计算sin(30°)得，
sin(2θ-30°) - sin(60°+2θ) = 1
2cos(2θ+15°)sin(-45°) = 1
cos(2θ+15°) = -2 / √2 = cos(135°)
θ = 60°
△CDE为等边三角形，证明完毕。

如果是高考，我觉得只有这么证明才是唯一的正确答案。

但是，有没有更直观、更清晰易懂的方法呢，这里给出一个不使用公式的证明方法。

首先，我们直接假设△CDE为等边三角形，那么可以很轻松得出，∠DEA=15°。
接下来开始证明，如果△CDE不是等边三角形，则∠DEA一定不是15°，通过反证法进行证明。

浏览器版本比较尴尬，不支持canvas。

此时不妨设置为E'，如果△CDE'不是等边三角形，则E'一定在点E的左边或者右边。

当E'在E的右边时，
∠ADE' > ∠ADE
∠ADE' > 150°
所以，
∠DAE'+∠DE'A=180°-∠ADE'<30°， 因为DE'>DE，DE=AD，
所以DE'>AD，
那么DE'对应的角∠DAE'大于AD对应的角∠DE'A，
而这两个角∠DAE'+∠DE'A之和小于30°，
得到，∠DE'A<15°，不成立。 反之，如果E'在E的左边时，可得∠DE'A>15°。
综上，当且仅当△CDE为等边三角形，∠DEA=15°。

数学，简单就好。